重视例题教学的知识串联与变换技巧

 

梁开华  《数学教学》19975

 

    上海市新编数学教材有不少特色。其中明显的一条是基本的、重要的、典型的内容相对地集中了、突出了,特别是方法教学,比如高二数列一章,专门给出了“数列求和的几种方法”、“归纳—猜想—论证”等内容设置,变换训练的意图相当明显。现以该章中的例1为例,说明知识串联与技巧变换的教学设计及其迸发的数学美。

   (《数学高二年级第二学期》P95) 例 顺次计算数列11+2+11+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测an=1+2+3++n-1+n+n-1++3+2+1的结果,并用数学归纳法加以证明。

    分析与解:容易得出,1=121+2+1=221+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,

    从而猜测:an=1+2+3++n-1+n+n-1++3+2+1=n2.

    用数学归纳法证明之:

(1)       n=1的时,等式显然成立。

(2)       假设n=k时,等式成立,即ak=k2,

则当n=k+1时,ak+1=1+2+3++k+(k+1)+k+k-1+...+2+1=ak+(k+1)+k=k2+2k+1=(k+1)2

等式也成立。

    综合(1)、(2),等式对任何nN都成立。

    这个题目的本身已蕴含理想的结构美,然而远非如此,我们来看下面的一串等式:

 12=1112=1211112=12321,…,1112=123n321                        (1)

                                                    

                                                         n个

    例题的数列各项只不过是(1)所给出的(等号右边)数列各项的数字和。而这个数列各项(n2)的底数又恰恰是(等号左边)一系列的1相加所得的和。这真是天生般的自然美。

问题还在于这样的美的结构还具有明显的应用价值,只要我们注意串联对相关问题结构及其规律的观察与剖析。比如有这样一道因式分解题:

分解因式a4+2a3+3a2+2a+1

1)的等号的右边,是不是已经隐含解答了呢?

解:原式=(a2+a+1)

这又正是(1)抽象结构的具体化与应用化,且可用性的潜能大得很!

 

2   试证数列101011010101,…,1010101中的每一项都是合数(前苏联数学竞赛题)。

   分析与证明:我们不妨使命题的内容更充实些,也更一般些:

    设x=10,即证x4+x2+1x6+x4+x2+1,…,x4n+x4n-2++x2+1x4n+2+x4n++x+1

始终能够因式分解。

    先解决其中的偶数项。每一项也总有偶数个项相加。把他们“拦腰”分作两部分,对一般形式,就有

  x4n+2+x4n++x2n+2+x2n+x2n-2++x2+1

=x2n+2(x2n+x2n-2++x2+1)+x2n+x2n-2+x2+1

=(x2n+x2n-2++x2+1)(x2n+2+1)

    对于奇数项,先以一个简单式为过渡,体会解决的方法:

  x8+x6+x4+x2+1

=x8+2x6+3x4+2x2+1-(x6+2x4+x2)

=(x4+x2+1)2-(x3+x)2

=(x4+x3+x2+x+1)(x4-x3+x2-x+1)

    于是,一般地,则有

 

  x4n+x4n-2++x2n+2+x2n+x2n-2++x2+1

=x4n+2x4n-2+3x4n-4++nx2n+2+(n+1)x2n+nx2n-2+2x2+1-(x4n-2+2x4n-4++(n-1)x2n+2+nx2n+(n-1)x2n-2++2x4+x2)

=(x2n+x2n-2++x2+1)2-(x2n-1+x2n-3++x3+x)2

=(x2n+x2n-1+x2n-2++x2+x+1)(x2n-x2n-1+x2n-2-+x2-x+1)

    x=10,则表明数列

101011010101,…,1010101中的每一项都是合数。

    课堂教学,特别是毕业班复习课,善于加强例题的知识串联与变换技巧,显然极其重要。这也是对教师的一种合理的但又较高的要求。

 

 

成果集锦

梁开华  《中学数学教学参考》2000(12)

由三堆物博弈产生的一个有趣数阵

由个数分别为a、b、c的三堆物体中,甲乙轮流拿取:①每次可从任一堆中取走任意一个;②每次至少取一个;③每次只能从某一堆上取,不得从两堆或三堆上取.那么,谁取到最后一场,就算获胜.

这时,我们称数组(a,b,c)为一个局势,如果面对局势(a,b,c),甲先取,而乙有必胜策略,则称之为后发必胜局势, a、b、c称为一组绝数.如果记aii=0(i=1,2,…),ai1=a,a1j=b,aij=c,则(a、b、c)即可排成一个数阵{aij}

绝数数阵{aij}:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

17

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

18

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

19

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

20

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

21

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

22

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

23

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

24

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

25

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

26

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

27

 

比如,取a=a21=1,b=a13=2,则c=a23=3,于是(a,b,c)=(1,2,3)构成乙的必胜局势(无论甲怎样取,乙总有法获胜)。

该数阵的构成方法是:首行是0,1,2,…;第二行是首行的第一,第二两数对换,第三,四两数的对换…;第三行是第二行的每连续四个数倒排;第四行是第三行两两倒排;第五行是第四行的每连续八个数倒排…

这个数阵有非常丰富的性质:

⑴它是一个对称数阵,即aij=aji;

⑵每一行都是数0,1,2,3,…的某个排列;

⑶是以2n为模的模周期数阵;

 

    记A1=

I1=

A2=

I2=

22  22  22  22

22  22  22  22

22  22  22  22

22  22  22  22

    等等,则有递推公式

An+1=

An    An+In

An+In   An

     且有︳A1 ︳=-1, ︳A2 ︳=︳A3 ︳==0;

 ⑸规定运算:10=01=1,11=00=0,将a,b,c都表成二进制数,则ab=c,bc=a,ca=b,如

a=14=1110(2),b=11=1011(2),则c=1110(2)+ 1011(2)=101(2)=5.

    绝数数阵有着丰富的性质和广泛应用,笔者已进行了初步开发。

 

“资源重组”证明一类轮换对称不等式

200333 上海晋元高级中学 梁开华

 

不等式证明以往是高中代数知识里比较重要的内容,由于证明方法特多,有时形成的解决办法很巧妙,因此颇为师生所感兴趣。其留给师生思索、探求的空间相当广阔,往往令人回味隽永,意蕴盎然。现在,在人们的感觉里,不等式证明的知识点不那么重要了;在上海,其淡化尤为显著。

但我认为,至少在拓展课或研究课里,进行不等式证明方法的探讨,依然值得考虑。不等式的表达形式中,轮换对称结构十分常见,证明方法也多得很。笔者这里介绍一种“资源重组”法,就是尽量用好平均的理念,把相关量的“多余”与“不足”进行重组与平衡,发挥“整体”的力量予以解决。

下面通过举例阐明这样方法的应用。

例1          xyzR+,

求证 

证明:    

      

其中 

    ∴ 原式

  ∴ 原不等式成立。

这个简单的例子里,把3/2分作31/2与每个关系式运算,把运算中间结果中含xy的结构关联起来计算,这就是“资源重组法”的重要解法设计。相当一部分轮换对称的不等式证明,可以利用这个方法得到有效而令人满意地解决。

2  xyzR+,

求证 

证明:

其中

    

    ∴ 原式

    0

∴ 原不等式成立。

3  xyzR+,

求证

证明:即证

其中

    

∴ 原式=成立。

∴ 原不等式成立。

4  a, b, cR+,

求证 

证明:即证

   .

其中

    

    原式

成立。

原不等式成立。

通过以上举例可以体会笔者“资源重组法”用于不等式证明方法的简明与奥妙。遇到相关轮换对称不等式证明时,不妨先用本法一试。如果不够顺利或推证繁琐,再试用他法。

但不要以为这个方法所对应解决的不等式问题难度不大。上述有关例子有的已颇够份量。下面再举一个一般解法颇感头痛的例子。

例5          在锐角ABC中,

求证  cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA6sinA/2sinB/2sinC/2(题目取自2005.8.《数学通报·数学问题解答》题1563)。

证明:先给出一个熟知的结论:

在锐角ABC中,cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.

12sinA/2sinB/2sinC/2=3(cosA+cosB+cosC)3.

即证 3(cosA+cosB+cosC)32(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)0

即证 (cosA1)(12cosB)+(cosB1)(12cosC)+(cosC1)(12cosA)0

左边

   

   

   

   

其中  

原式

=

原不等式成立。

本题的证明过程可充分领略重组资源结构配置转化的快乐。比之问题提供人给出的解法,用到一些特殊的图形结构及“车比雪夫不定式”等特殊结论,显然简明直接得多。另外,本题完整形式是

...求证cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA6sinA/2sinB/2sinC/2sinA/2sinB/2+sinB/2sinC/2+sinC/2sinA/2.

半结论原解法也不理想。不妨这样:

锐角ABC中,

这样多直截了当。